LDPC码是一种低密度奇偶校验码。本文将简单记录关于纠错码以及LDPC编、译码过程的学习。
参考网页：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/514670102
https://blog.csdn.net/qq_37654178/article/details/120458583
纠错码
在一个典型的数字通信系统中，信源信号经过信源编码、信道编码、调制后进入信道。为了对抗信道中的噪声干扰，在传送时需要在信道编码中使用纠错码技术。
纠错码的核心
发送方为信号增加冗余信息，使接收方能检测和纠正传输中可能发生的错误。但纠错能力有限。
优点：可以纠正部分错误，不需要重发数据。 缺点：冗余信息增加了信道开销，浪费了部分带宽资源。
原理：在信源的输出上增加监督/纠错位，增加通信可靠性。
LDPC
Low Density Parity Check Code，低密度奇偶校验码。是一种（n,k）线性分组码，错误纠正能力接近香农极限。
编码原理
通过生成矩阵计算LDPC码，通过校验矩阵完成纠错。以（6，3）分组码为例。
原码\[ s=(c1,c2,c3)\] 生成矩阵\[ G= \begin{pmatrix} 1&0&0&1&0&1 \\ 0&1&0&1&1&1 \\ 0&0&1&0&1&1 \end{pmatrix}\\\]
LDPC码 \(C(s)=s\cdot G\)
校验矩阵\[H= \begin{pmatrix} 1&1&0&1&0&0 \\ 0&1&1&0&1&0 \\ 1&0&1&0&0&1 \end{pmatrix}\\\]
\(HC_{T}(s)=0\)
校验矩阵和生成矩阵一一对应-->可以用只讨论校验矩阵。
用Tanner图表示
图中包含6个变量节点和3个校验节点。变量节点对应纠错码的各个码位，校验节点负责处理信号并输出结果。类似神经网络，校验节点可以表示校验方程。
比特翻转算法-硬判决
对信道做出01判决，只有01参与运算。简单，但是性能较差。
- 首先校验零向量\(s=Hc^T\)
- 对于c对每个元素，计算结果错误的方程数量\(f_n=\sum_{m=1}^3(s_m\cdot h_{mn})\)
- 如果\(f_n\)超过设定值则翻转元素\(c_n\)，重新校验
硬判决举例
\(s=(1 1 0)\)，编码结果\(C(s)=(1 1 0 0 1 1)\) ，接收信号\(c=(010011)\)，校验矩阵\[H= \begin{pmatrix} 1&1&0&1&0&0 \\ 0&1&1&0&1&0 \\ 1&0&1&0&0&1 \end{pmatrix}\\\]
- \(s=(101)\)不是零向量，传输错误
- 计算\(f=(211101)\)
- 翻转\(c_1\)
- 重新校验，s为零向量，译码成功。
置信传播算法-软判决
使用概率判决信息，提高纠错性能。
在本算法中使用对数似然比来表征概率，假设某码位是 0 的概率为\(p\) ，则其为1的概率就是 \(1-p\) ，此时用对数似然比ln(p/1-p)来表示该位的电平概率，可以起到一个放大概率的作用。
初始化先验概率：用码位的正确传送概率计算对数似然比\(ln(1-p/p)\)或\(ln(p/1-p)\)来表征码位倾向，结果越正，码位为 0 的概率越大；结果越负，码位为 1 的概率越大。 初始化变量矩阵M：如果c的位为1，H对应列的1改为1的对数似然比；c的位为0，H对应列的1改为0的对数似然比。表示信道输出中每一个码位的电平概率。
更新变量矩阵M：用对数似然比结合E矩阵的信息。
更新校验矩阵E：对于某一码位，参考校验方程中其他相关码位的意见，修改自己的电平概率。再将每一列相加，得到确切的电平概率作为后验概率向量。加入约束条件后更能表征电平概率
计算后验概率：将\(E\)矩阵求列和，并加上初始对数似然比，得到后验概率。
比特判决：负数判决为1，正数判决为0。
校验：根据H矩阵对判决结果进行校验。
软判决举例
比如\(c=(110111),p=0.8\)，可以计算得到对于1的对数似然比为-1.386，对于0为1.386。 校验矩阵\[H= \begin{pmatrix} 1&1&0&1&0&0 \\ 1&0&1&0&1&0 \\ 0&1&1&0&0&1 \\ \end{pmatrix}\\\]
变量矩阵\[M= \begin{pmatrix} -1.386&-1.386&0&-1.386&0&0\\ -1.386&0&1.386&0&-1.386&0 \\ 0&-1.386&1.386&0&0&-1.386 \\ \end{pmatrix}\\\]
校验矩阵\[E= \begin{pmatrix} 0.7538&0.7538&0&0.7538&0&0\\ -0.7538&0&0.7538&0&-0.7538&0 \\ 0&-0.7538&0.7538&0&0&-0.7538\\ \end{pmatrix}\\\]
后验概率为\((-1.386,-1.386,2.894,-0.632,-2.140,-2.140)\)
根据后验概率得到判决输出为\((110111)\)
校验不通过，重新计算\(M\)和\(E\)矩阵，直到判决正确。